4.c) Vegtelen sorok

Szamsorozatok es sorok

Def.: Az $(a_n)$ sorozat $b$-hez tart, ha minden $\epsilon >0$-ra van olyan $n_0$ szam, amelyre teljesul, hogy

$$|a_n-b_n|<\epsilon \text{minden }n>n_0\text{indexre.}$$

Def.: Azt mondjuk, hogy az $(a_n)$ sorozat hatarerteke $\infty$, ha tetszoleges $P$-hez letezik olyan $n_0$ szam, amelyre teljesul, hogy

$$a_n>P,\text{ha}n>n_0.$$

Def.: A ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ vegtelen sor reszletosszegein az $s_n=a_1+\cdots +a_n$ szamokat ertjuk. Ha a reszletosszegekbol kepzett $(s_n)$ sorozat konvergens es hatarerteke $A$, akkor azt mondjuk, hogy a ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ vegtelen sor konvergens, es az osszege $A$.

Tetel: A harmonikus sor divergens.
Tetel: ${\sum }_{n=1}^{\infty }1/n^p$ konvergens $p\ge 2$-re. Nevezetesen $p=2$-re az vegtelen sor erteke ${\pi }^2/6$.

Tetel: (Cauchy-kriterium) A ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ vegtelen sor akkor es csak akkor konvergens, ha minden $\epsilon >0$-hoz letezik egy $n$ index ugy, hogy minden $N\le n<m$-re

$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_m|<\epsilon .$$

Def.: A ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ vegtelen sort abszolut konvergensnek nevezzuk, ha a ${\sum }_{n=1}^{\infty }|a_n|$ sor konvergens.
Tetel:

1. Minden abszolut konvergens sor konvergens.
2. Egy abszolut konvergens sor barmely atrendezettje is abszolut konvergens, es az osszege ugyanaz mint az eredeti sore.

Def.: Egy sor feltetelesen konvergens, ha konvergens de nem abszolut konvergens.
Tetel: (Riemann atrendezes) Ha a ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ sor feltetelesen konvergens, akkor az atrendezettjei kozott van olyan, amelyiknek az osszege vegtelen, van olyan, amelyiknek osszege minusz vegtelen, minden $A\in \mathbb{R}$-re van olyan, amelyik konvergens es az osszege $A$, es olyan is van, amelyik divergens es nincs osszege.

Megj.: Peldaul a

$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\dots$$

feltelesen konvergens, mert az tagonkenti abszolut sor a harmonikus sor. Ezt at lehet rendezni ugy hogy barmit kapjuk.

Fuggvenysorozatok es sorok

Def.: Legyenek $f_1,f_2,\dots$ a $H$ halmazon ertelmezett valos erteku fuggvenyek. Azt mondjuk, hogy az $(f_n)$ fuggvenysorozat pontokent konvergal az $f:H\to \mathbb{R}$ fuggvenyhez, ha ${\lim }_{n\to \infty }{f}_n(x)=f(x)$ minden $x\in H$-re. Jelolesben $f_n\to f$.

Megj.: Az $f_n(x)=x^n$ fuggvenysorozat az

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& 0\le x<1\\ & \\ 1& x=1\end{array}$$

fuggvenyhez. Innen latszik hogy folytonos fuggvenyek pontonkenti limeszi nem feltetlenul folytonos.

Def.: Legyenek $f_1,f_2,\dots$ a $H$ halmazon ertelmezett valos erteku fuggvenyek. Azt mondjuk, hogy az $(f_n)$ fuggveny sorozat egyenletesen konvergal az $f:H\to \mathbb{R}$ fuggvenyhez, ha minden $\epsilon >0$-hoz van olyan $n_0$, hogy $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$ minden $x\in H$-ra es minden $n>n_0$-ra.
Megj.: Ez azt jelenti hogy tetszolegesen szuk csore $f$-korul letezik olyan nagy $n_0$ melyre $f_n$ mar ebben a csoben van.

Def.: (Cauchy-kriterium) Az $(f_n)$ fuggvenysorozat akkor es csak akkor konvergal egyenletesen a $H$ halmaon, ha minden $\epsilon >0$ van olyan $N$, hogy

$$|f_n(x)-f_m(x)|<\epsilon$$

teljesul minden $x\in H$ es $n,m\ge N$ eseten.

Tetel: Folyonos fuggveny egyenletes limesze folytonos.
Kov.: A folytonos fuggvenyek tere az egyenletes konvergenciaval teljes ter, mivel minden Cauchy sorozat egyenletesen konvergens.

Tetel: $f_n$ integralhato fuggvenyek sorozatanak egyenletes limesze $f$ is integralhato es az integralja a kovetkezo

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_a^b{f}_n(x)dx.$$

Def.: Legyenek $f_1,f_2,\dots$ a $H$ halmazon ertelmezett valos erteku fuggvenyek. Azt mondjuk, hogy a $\sum f_n$ fuggvenysor konvergens es az osszege $f:H\to \mathbb{R}$, ha a $\sum f(x)$ sor konvergens es az osszege $f(x)$ minden $x\in H$-ra.
Def.: Tegyuk fel, hogy $\sum f_n=f$ a $H$ halmazon. Azt mondjuk, hogy a $\sum f_n$ fuggvenysor egyenletesen konvergens $H$-n, ha az $s_n={\sum }_{i=1}^n{f}_i$ fuggvenyekbol allo fuggvenysorozat egyenletesen konvergal az $f$ fuggvenyhez $H$-n.
Tetel: (Cauchy-kriterium) A $\sum f_n$ fuggvenysor akkor es csak akkor konvergal egyenletesen a $H$ halmazon, ha minden $\epsilon >0$-hoz van olyan $N$, hogy

$$\left|\sum _{i=n+1}^m{f}_i(x)\right|<\epsilon$$

teljesul minden $x\in H$ es $N\le n<m$ eseten.

Tetel: (Weierstrass-kriterium) Ha vannak olyan $a_n$ szamok melyekre $\sum a_n$ konvergens es $|f_n(x)|\le a_n$ minden $x\in H$-ra es $n>n_0$ eseten, akkor a $\sum f_n$ fuggvenysor egyenletesen konvergal a $H$ halmazon.
Megj.: Majoraltuk a fuggvenysort az $a_n$ szamokkal.

Tetel: (Tagonkenti integralhatosag) Az $[a,b]$ intervallumon integralhato $f_n$ fuggvenyekbol allo $\sum f_n$ sor ha egyenletesen konvergal $f$-hez, akkor $f$ is integralhato $[a,b]$ es az integralja a kovetkezo:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_a^b{f}_n(x)dx.$$

Tetel: (Tagonkenti differencialhatosag) Legyenek az $f_n$ fuggvenyek folytonosan differencialhatoak a korlatos $I$ intervallumon, es tegyuk fel, hogy

1. $\sum f_n^{\prime }=g$ egyenletesen az $I$ intervallumon, es
2. letezik legalabb egy $x_0\in I$, amelyre a $\sum f_n(x_0)$ sor konvergens.
   Ekkor az $\sum f_n$ sor egyenletesen konvergal $I$-n. Ha $\sum f_n=f$, akkor $f$ differencialhato es

$${\left(\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n\right)}^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{f}_n^{\prime }(x)$$

minden $x\in I$-re.

Hatvanysor

Def.: Az ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ alaku sorokat hatvanysoroknak hivunk.
Def.: Egy hatvanysor konvergencia sugaran azon $x\in \mathbb{R}$ szamok halmazat ertjuk melyekre konvergens a sor. Jel.: $T$.
Def.: Az $r=\sup T$ mennyiseget a hatvanysor konvergenciasugaranak hivunk.
Tetel: Legyen $R$ a konvergenciasugara egy adott hatvanysornak.

1. Ha $R=0$ akkor a konvergenciatartomany $\{0\}$.
2. Ha $0<R<\infty$ akkor a sor konvergenciatartomanya a kovetkezok kozul egy: $[-R,R],[-R,R),(-R,R],(-R,R)$.
3. Ha $R=\infty$ akkor a sor konvergenciatartomany az egesz szamegyenes.
   Tetel: (Cauchy-Hadamard-formula) A $\sum a_n{x}^n$ hatvanysor konvergenciasugara

$$R=\frac{1}{{\mathrm{limsup}}_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}}.$$

Taylor sor

Def.: Ha $f$ $n$-szer differencialhato az $x_0$ pontban akkor a kovetkezot az $n$-edik Taylor polinomjanak hivjuk az $x_0$ pontban:

$$\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$$

Def.: Ha $f$ akarhanyszor differencialhato az $x_0$ pontban akkor a kovetkezot a Taylor soranak nevezzuk az $x_0$ pontban:

$$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$$

Def.: Azt mondjuk, hogy $f$ analitikus az $x_0$ pontban ha van Taylor sora $x_0$ ban es az megegyezik $f(x_0)$-al.

Komplex fuggvenyek es hatvanysorok

Def.: A komplex szinusz fuggvenyt a kovetkezokeppen definialjuk:

$$\sin (z)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}\dots$$

Def.: A komplex koszinusz fuggvenyt a kovetkezokeppen definialjuk:

$$\cos (z)=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}\dots$$

Tetel: A komplex szinusz es koszinusz fuggvenyek analitikusak, avagy holomorfak.

Komplex exponencialis fuggveny

Def.: A komplex exponencialis fuggvenyt a kovetkezokeppen definialjuk:

$$e^z=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^n}{n!}.$$

Tetel: (Euler formula)

$$e^{iz}=\cos z+i\sin z$$

Tetel:

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$$ $$\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

Fourier sorok

Def.: Az

$$a_0+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

alaku sorokat trigonometrikus soroknak nevezzuk.

Motivacio: Nyilvan ha a fenti sor konvergens mindenutt akkor az osszeg $2\pi$ szerint periodikus. Vajon eloall az osszes $2\pi$ periodikus fugveny ilyen alakban? A valasz igenlo, de mi csak akkor latjuk be amikor a trigonometrikus sor egyenletesen konvergens.

Tetel: Tegyuk fel, hogy a fenti trigonometrikus sor egyenletesen konvergens $\mathbb{R}$-en. Ha a sor osszege $f(x)$, akkor $f$ folytonos, es fennalnak az

$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)dx$$

es

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos nxdx$$

es

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\sin nxdx$$

osszefuggesek.

Megj.: Tehat az elozo tetel azt mondja ki, hogy ha a trigonometrikus sor egyenletesen konvergens es osszege $f(x)$ akkor $f$ folytonos es az egyutthatok egyertelmuan eloallnak egyszeru hatarozott integralok eredmenyekent.

Def.: Tegyuk fel, hogy $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ periodikus $2\pi$ szerint es integralhato $[0,2\pi ]$-ben. Az elozo formulak altal definalt szamokat az $f$ Fourier egyutthatoinak hivjuk, es a veluk felirt sort az $f$ Fourier soranak.

Megj.: Ha $n\ge 1$ egyesz, akkor

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}nxdx={\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}nxdx=\pi .$$

Tovabba ha $n$ es $m$ egyeszek, akkor

$${\int }_0^{2\pi }\sin nx\cos mxdx=0.$$

Es meg ha $n$ es $m$ kulonbozo nemnegativ egeszek, akkor

$${\int }_0^{2\pi }\cos nx\cos mxdx={\int }_0^{2\pi }\sin nx\sin mxdx=0.$$

Egy szo mint szaz: a trigonometrikus bazis ortonormalt bazis.